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延安大学--捕鱼问题

一、问题重述

某水库为了提高经济效益,保证优质鱼类有良好的生活环境,必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理,因此放水清库。

现有如下条件:(1)水库现有水位平均为10米,自然放水每天水位降低0.4米,经与当地协商水库水位最低降至2米,这样预计需要20天时间,水位可达到目标;(2)据估计水库内尚有草鱼二万公斤,鲜活草鱼在当地市场上,若日供应量在400公斤以下,价格为20元/公斤,日供应量在400-1200公斤,超过部分价格降至18元/公斤,日供应量超过1200公斤时,超过部分价格降至15元/公斤,日供应量到1800公斤处于饱和;(3)捕捞草鱼的成本:水位于10米时,每公斤5元;当水位降至2米时,为1元/公斤;(4)随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加,至最低水位2米时,损失率为20%.

根据以上条件,解决下列问题:(1)建立草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系;(2)建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系;(3)讨论损失率与水位关系,并进一步建立简明合理的草鱼损失率随时间变化的函数关系;(4)规划如何捕捞并将鲜活草鱼投放市场使得效益最佳.

二、问题分析

通过对问题进行简单的分析和讨论,我们可以将效益最佳视为求解最大值的问题,即该问题可以归为线性规划问题。条件(1)是水位随时间变化的约束条件,条件(2)是对于草鱼总量及日供应量的约束条件,条件(3)是对捕捞成本的约束条件,条件(4)是损失率随水位的变化约束。在四个约束条件下,我们可以建立线性优化模型。

对于水库里的二万公斤草鱼,由于在自然放水,水位逐渐降低的情况下,考虑到捕捞成本的降低以及损失率的逐渐增大,为获得最佳效益,就必须使总利润最大,这就要处理好捕捞时间、捕捞成本、损失率及利润之间的关系。由于在水位深度降低时,捕捞成本越来越低,并且降低的速度越来越快,同时,捕鱼的损失率也逐渐增加,增加的速率也不同,因此不能单纯的考虑线性函数,而应该是二次函数、反函数、指数函数等其它函数,求得函数之后再用MATLAB软件作图。

对于要获得最佳的效益,就必须求得每天的捕鱼量、损失率、捕捞成本,所以就得建立相应的目标优化模型,找出目标函数及约束条件,最后用LINGO软件进行求解,得出最优捕捞方案。

三、模型假设

1、假设水位变化只与自然放水有关,不考虑蒸发等其他因素对水位变化产生的影响;

2、假设每天草鱼的捕捞量即为当日的日供应量加上当天的损失量; 3、假设草鱼的损失只与水位下降和捕捞有关; 4、假设不考虑鱼的自然死亡与出生;

四、符号说明

i:表示第i天,i=0,1,2,…,20

Xi:第i天的日供应量

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