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《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第6章
第六章
习题6-1
1.利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1,直线x=a,x=b及x轴所围成的图形的面积.解因y=x2+1在[a,b]上连续,所以x2+1在[a,b]上可积,从而可特殊地将[a,b]n等分,并取
i a
于是
n
n
b ab ab a2
,f( i) (a i,Δxi i) 1,
nnn
i 1
f( i)Δxi [(a
i 1
n
b a2b ai) 1]nn
2
2
i2i1
(b a) [a (b a)2 2a(b a) 1]
nnni 1
111n(n 1)1
n] (b a)[na2 (b a)2 2 n(n 1)(2n 1) 2(b a)a
n6nn2
故面积
1
S (x 1)dx lim f( i)Δxi (b a)[a2 (b a)2 a(b a) 1]
an 3i 1
b
2
n
1
(b3 a3) (b a)3
2.利用定积分的几何意义求定积分:(1)解
1
2xdx;
(2)
x(a>0).
(1)根据定然积分的几何意义知,
1
2xdx表示由直线y=2x,x=0,x=1及x轴所围的三角形
1
的面积,而此三角形面积为1,所以
2xdx=1.
(2)根据定积分的几何意义知
,轴所围成的
x表示由曲线y x 0,x a及x
111122
圆的面积,而此圆面积为a,
所以 x a.
04444
3.根据定积分的性质,比较积分值的大小:(1)解
1
xdx与 xdx;(2)
2
2
1
3
edx与 (1 x)dx.
3
2
2
3
1
1
x
1
(1)∵当x [0,1]时,x x x(1 x) 0,即x x,又x
2
x3,所以 x2dx x3dx.
1
(2)令f(x) e 1 x,f (x) e 1,因0 x 1,所以f (x) 0,从而f(x) f(0) 0,说明e 1 x,又e4.估计下列各积分值的范围:
x
x
xx
1+x.所以
edx (1 x)dx.
1
x
1
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