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《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第6章

《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第6章

第六章

习题6-1

1.利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1,直线x=a,x=b及x轴所围成的图形的面积.解因y=x2+1在[a,b]上连续,所以x2+1在[a,b]上可积,从而可特殊地将[a,b]n等分,并取

i a

于是

n

n

b ab ab a2

,f( i) (a i,Δxi i) 1,

nnn

i 1

f( i)Δxi [(a

i 1

n

b a2b ai) 1]nn

2

2

i2i1

(b a) [a (b a)2 2a(b a) 1]

nnni 1

111n(n 1)1

n] (b a)[na2 (b a)2 2 n(n 1)(2n 1) 2(b a)a

n6nn2

故面积

1

S (x 1)dx lim f( i)Δxi (b a)[a2 (b a)2 a(b a) 1]

an 3i 1

b

2

n

1

(b3 a3) (b a)3

2.利用定积分的几何意义求定积分:(1)解

1

2xdx;

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(2)

x(a>0).

(1)根据定然积分的几何意义知,

1

2xdx表示由直线y=2x,x=0,x=1及x轴所围的三角形

1

的面积,而此三角形面积为1,所以

2xdx=1.

(2)根据定积分的几何意义知

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,轴所围成的

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x表示由曲线y x 0,x a及x

111122

圆的面积,而此圆面积为a,

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所以 x a.

04444

3.根据定积分的性质,比较积分值的大小:(1)解

1

xdx与 xdx;(2)

2

2

1

3

edx与 (1 x)dx.

3

2

2

3

1

1

x

1

(1)∵当x [0,1]时,x x x(1 x) 0,即x x,又x

2

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x3,所以 x2dx x3dx.

1

(2)令f(x) e 1 x,f (x) e 1,因0 x 1,所以f (x) 0,从而f(x) f(0) 0,说明e 1 x,又e4.估计下列各积分值的范围:

x

x

xx

1+x.所以

edx (1 x)dx.

1

x

1

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