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浙江大学07-08《线性代数I》期中试卷及答案

浙江大学07-08《线性代数I》期中试卷及答案

浙江大学2007-2008学年《线性代数I》期中试卷

1.设X,Y是集合,f:X→Y是映射。在X中定义关系R如下:

x1Rx2 f(x1)=f(x2)。证明R是X中的等价关系。

证明:(1)自反性:对于 x∈X,显然有f(x)=f(x),即xRx。 (2)对称性:设x1Rx2,其中x1,x2∈X。显然有f(x2)=f(x1),即x2Rx1。 (3)传递性:设x1Rx2,x2Rx3,其中x1,x2,x3∈X。则有f(x1)=f(x2)=f(x3),即x1Rx3。

所以R是X中的等价关系。

2.设映射f: 2→ 3是由f(x,y)=(x,x+y,x y)定义。

(a) 证明f是线性映射。

(b) 确定f是否(i)单射;(ii)满射;(iii)双射;并给出理由。 证明:(a)对 (x1,y1),(x2,y2)∈ 2, λ∈ ,我们有

f((x1,y1)+(x2,y2))=f(x1+x2,y1+y2)= =f(x1,y1)+f(x2,y2),f(λ(x1,y1))=f(λx1,λy1)= =λf(x1,y1)(其中省略号按题设中的定义即可得) 所以f是线性映射。

(b)(i)因为f(x,y)=(x,x+y,x y)=0 x=y=0,所以kerf={(0,0)},即

f是单射;

(ii)因为dim 2=2,所以dimImf≤2<3=dim 3,所以f不是满射; (iii)因为f不是满射,所以f不是双射。

3.求 3中向量(1,1,1)关于有序基{v1=(0,1, 1),v2=(1,1,0),v3=(1,0,2)}的坐标。 解:设其坐标为(x1,x2,x3),则有(1,1,1)=x1(0,1, 1)+x2(1,1,0)+x3(1,0,2),即

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